В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
\( m(t)= m_0⋅2^{-\frac{t}{T}},\) где \(m_0 -\) начальная масса изотопа, \(t -\) время, прошедшее от начального момента, \(T -\) период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(20\) мг. Период его полураспада составляет \(10\) мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(5\) мг.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется
собирающая линза с фокусным расстоянием \(f = 60\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от \(95\) см до \(115\) см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от \(140\) см до \(160\) см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение
\(\frac 1{d_1}+\frac 1{d_2}=\frac 1f.\)
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \(v_0=19 м/с,\) начал торможение с постоянным ускорением \(a=2 м/с^2.\) За \(t\) — секунд после начала торможения он прошёл путь \(S=v_0t-\frac {at^2}2 (м).\) Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал \(90\) метров. Ответ выразите в секундах.
Сила тока в цепи \(I\) (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: \(I=\frac UR\) , где \(U \)— напряжение в вольтах, \(R \)— сопротивление электроприбора в Омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает \(4\) А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в \(220\) вольт, чтобы сеть продолжала
работать. Ответ выразите в Омах.
Известно, что при некотором физическом процессе, в котором участвует газ, выполнено соотношение \( p_1V_1^{1,5}=p_2V_2^{1,5}\), где \(p_1, p_2\) – давление газа в паскалях в начальный и конечный моменты времени, а \(V_1, V_2\) – объём газа в литрах в начальный и конечный моменты времени. В начальный момент времени объём газа равен \(3\) л, а его давление равно \(16\) атмосферам. Каким должен стать конечный объём газа, чтобы его конечное давление стало \(2\) атмосферы? Ответ дайте в литрах.
К источнику с ЭДС \(ε=75 \) В и внутренним сопротивлением \(r=0,4\) Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой
\( U=\frac {εR}{R+r}.\)
При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее \(60\) В? Ответ выразите в омах.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой \(494\) МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \(v=c⋅\frac {(f-f_0)}{(f+f_0)}\), где \(c=1500\) м/с – скорость звука в воде, \(f_0\) – частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала \(f\), если скорость погружения батискафа не должна превышать \(18\) м/с. Ответ дайте в МГц.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет
\(R_1=90\) Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление \(R_2\) этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями \(R_1\) Ом и
\(R_2\) Ом их общее сопротивление дается формулой \(R_{общ}= \frac {R_1 R_2}{R_1+R_2}\) (Ом), а
для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше \(9\) Ом. Ответ выразите в Омах.
Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с
постоянным ускорением \(a\) \(км/ч^2\) . Скорость в конце пути вычисляется по формуле
\(v=\sqrt{2la}\) , где \(l\) ‐ пройденный автомобилем путь. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль чтобы, проехав \(250\) метров, приобрести скорость \(60\)
км/ч. Ответ выразить в \(км/ч^2\).
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C = 3⋅ 10^{-6} \) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R = 3⋅ 10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0 = 24\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением
\( t= \alpha RC log_2 \frac {U_0}{U}\) (с), где \(\alpha =0,9\) − постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее \(16,2\)с. Ответ дайте в киловольтах.
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию \(q\) (единиц в месяц) от ее цены \(p\) (тыс. руб.) задается формулой:
\(q = 160 -10p.\)
Определите максимальный уровень цены \(p\) (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц \(r= qp\) составит не менее \(550\) тыс. руб.
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела \(P\), измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: \(P=σST^4\), где
\(σ=5,7⋅10^{−8} \frac{Вт}{м^2⋅К^4} –\) постоянная, площадь \(S\) измеряется в квадратных метрах, а температура \(T \)– в Кельвинах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности
\(\frac {1}{25}⋅10^{20} м^2\), а излучаемая ею мощность \(P\) не менее \(1,425⋅10^{26} Вт\). Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в Кельвинах.
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением
\(p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4} \), где \(p_1\) и \(p_2\) — давление газа (в атмосферах), \(V_1\)
и \(V_1\) — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен \(1,6\) л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до \(128\) атмосфер?
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону
\(H(t)=at^2 +bt+H_0,\)
где \(H_0= 3\) м –начальный уровень воды,
\(a=\frac {1}{108}\) \(м/мин^2,\) \(b=-\frac 13\) \(м/мин -\) постоянные, \(t \)– время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Ответ приведите в минутах.
Грузовик тащит легковой автомобиль с силой \(120\)кН, направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. Работа грузовика (в килоджоулях) на участке длиной \(l=150\) м вычисляется по формуле \(A=Flcos\alpha\). При каком максимальном угле \(\alpha\) (в градусах) совершённая работа будет не менее \(9000\) кДж?
При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=140\) Гц и определяется следующим выражением:
\(f=f_0 ⋅\frac {(c+u)}{(c-v)}\) (Гц), где \(c\) – скорость распространение сигнала в среде (в м/с), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f \) будет не менее \(145\) Гц?
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону
\( f(v)=\frac {f_0}{1-\frac {v}{c}}\) Гц,
где \(c\) – скорость звука в м/с. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(10\) Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=315\) м/с. Ответ выразите в м/с.
При сближении источника и приемника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0 =150 \) Гц и определяется следующим выражением: \(f=f_0\frac{c+u}{c-v}\) (Гц), где \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u =10\) м/с и \(v =15\) м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f\) будет не менее \(160\) Гц.
Два тела, массой \(m = 9\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v = 6\) м/c под углом \(2α\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q =mv^2 sin^2 α\), где \(m\) — масса (в кг), \( v\) — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2α\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная \(81\) Дж. Ответ дайте в градусах.
Груз массой \(0,25\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону
\(v=v_0sin\frac {2πt}{T} \), где \(t-\) время с момента начала колебаний, \(T=12 с-\) период колебаний, \(v_0=1,6 м/с\). Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле
\( E=m\frac{v^2}{2}\), где \(m -\) масса груза в килограммах, \(v -\) скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через \(10\) секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Водолазный колокол, содержащий \(ν=2\) молей воздуха при давлении \(p_1=1,5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2.\) Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=α⋅ ν⋅ T⋅log_{2}\frac{p_2}{p_1}\) , где \(α=5,75 \frac {Дж}{моль⋅K} \)— постоянная,
\(T=300\) K — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(6900\) Дж.
Водолазный колокол, содержащий \(ν=5\) молей воздуха при давлении \(p_1=2,3\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2.\) Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=α⋅ ν⋅ T⋅log_{2}\frac{p_2}{p_1}\) , где \(α=15,6 \frac {Дж}{моль⋅K} \)— постоянная,
\(T=300\) K — температура воздуха. Найдите наибольшее возможное давление \(p_2\) (в атм) воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха совершенная работа не превысила \(23400\) Дж.
