Две окружности касаются внутренним образом в точке \(M,\) причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда \(PQ\) большей окружности касается меньшей в точке \(K;\) \(S\) и \(T\) – точки пересечения меньшей окружности с \(MP\) и \(MQ\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(ST\) и \(PQ\) параллельны.
б) Пусть \(L\) – точка пересечения \(MK\) и \(ST.\) Найдите \(ML,\) если радиус большей окружности равен \(5,\) а \(PQ=6.\)
Окружности радиусов \(3\) и \(5\) с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно касаются в точке \(A\). Прямая, проходящая через точку \(A\), вторично пересекает меньшую окружность в точке \(B\), а большую — в точке \(C\). Найдите площадь треугольника \(BCO_2\), если \(∠ABO_1 =15°\).
Окружности радиусов \(13\) и \(20\) с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно касаются внешним образом в точке \(C\), \(AO_1\) и \(BO_2\)— параллельные радиусы этих окружностей, причём \(∠AO_1O_2= 60°.\) Найдите \(AB.\)
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) - середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Известно, что около четырехугольника \(AMNC\) можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) - равнобедренный.
б) На стороне \(AС\) отмечена точка \(F,\) такая что \(∠AFB=135°.\) Отрезок \(BF\) пересекает отрезок
\(MN\) в точке \(E.\) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника \(AMNC,\) если \(∠ABC =120°\) и \(EF=6\sqrt2\).
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Общая касательная к этим окружностям касается в точках \(C\) и \(D\). Прямая \(AB\) пересекает отрезок \(CD\) в точке \(M.\) Центры окружностей лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(AB\), точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(M.\)
а) Докажите, что \(CM=MD. \)
б) Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если их радиусы равны \(1\) и \(3\) соответственно, а точка \(B\) является серединой отрезка \(AM\).
В треугольнике \(ABC\), \(AB=10\), \(BC =4 \), \(CA= 7.\) Точка \(D\) лежит на прямой \(BC\) так, что \(BD: DC =2:5 .\) Окружности, вписанные в каждый из треугольников \(ADC\) и \(ADB\), касаются стороны \(AD\) в точках \(E\) и \(F \). Найдите длину отрезка \(EF\).
РЕЗУЛЬТАТ
\(\Large{\frac 72}\) или \(\Large{ \frac{33}{14}}\)
На стороне острого угла с вершиной \(A\) отмечена точка \(B\). Из точки \(B\) на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры \(BC\) и \(BD\) соответственно.
а) Докажите, что \(AC^2+CB^2=\)\(AD^2+DB^2\).
б) Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(T.\) Найдите отношение \(AT:TC,\) если
\(cos∠ ABC = \frac 38\).
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника \(ABC\) вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке \(L.\) Прямая, проходящая через точку \(L\) и середину \(N\) гипотенузы \(AB,\) пересекает катет \(BC\) в точке \(M.\)
a) Докажите, что \(∠ BML=∠ BAC\).
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AB=20\) и \(CM=3\sqrt5\).
В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD,\) а через точку \(D\) прямая, параллельная \(AC\) и пересекающая \(AB\) в точке \(E.\) Найдите отношение площадей треугольников \(ABC\) и \(BDE,\) если \(AB=5, AC=7.\)
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на катете \(AC,\) а точка \(N\) лежит на продолжении катета \(BC\) за точку \(C,\) причём \(CM = BC\) и \(CN = AC.\)
\(а)\) Отрезки \(CH\) и \(CF —\) высоты треугольников \(ACB\) и \(NCM\) соответственно. Докажите, что прямые \(CH\) и \(CF\) перпендикулярны.
б) Прямые \(BM\) и \(AN\) пересекаются в точке \(L.\) Найдите \(LM,\) если \(BC = 4,\) а \(AC = 8.\)
Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A,\) причём меньшая проходит через центр большей. Хорда \(BC\) большей окружности касается меньшей в точке \(P.\) Хорды \(AB\) и \(AC\) пересекают меньшую окружность в точках \(K\) и \(M\) соответственно.
a) Докажите, что прямые \(KM\) и \(BC\) параллельны.
б) Пусть \(L\)— точка пересечения отрезков \(KM\) и \(AP.\) Найдите \(AL,\) если радиус большей окружности равен \(10,\) а \(BC= 16.\)
Дан ромб \(ABCD.\) Прямая, перпендикулярная стороне \(AD,\) пересекает его диагональ \(AC\) в
точке \(M,\) диагональ \(BD\) — в точке \(N,\) причем \(AM : MC = 1 : 2, \)\(BN : ND = 1 : 3.\)
Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Биссектрисы углов \(BAD\)
и \(BCD\) пересекаются в точке \(O.\) Точки \(M\) и \(N\) отмечены на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) соответственно. Известно, что \(AM = MO, CN = NO.\)
а) Докажите, что точки \(M, N\) и \(O\) лежат на одной прямой.
б) Найдите \(AM : MB,\) если известно, что \(AO = OC\) и \(BC : AD = 1 : 7.\)
В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям. Из точки \(A\) на сторону \(CD\) опустили перпендикуляр \(AH.\) На стороне \(AB\) отмечена точка \(E\) так, что прямые \(CD\) и \(CE\) перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые \(BH\) и \(ED\) параллельны.
б) Найдите отношение \(BH : ED,\) если \(∠BCD = 150° .\)
Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(OB\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P.\)
а) Докажите, что \(OP=AP.\)
б) Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC,\) если угол \(ABC=120°\) а радиус описанной окружности равен \(18.\)
Дан параллелограмм \(ABCD\) с острым углом \(A.\) На продолжении стороны \(AD\) за точку \(D\) взята точка \(N\) такая, что \(CN = CD,\) а на продолжении стороны \(CD\) за точку \(D\) взята такая точка \(M,\) что \(AD = AM.\)
\(а)\) Докажите, что \(BM = BN.\)
\(б)\) Найдите \(MN,\) если \(AC = 7,\) \(sin∠BAD=\frac 7{25}.\)
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM.\) На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.
\(а)\) Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельны.
\(б) \) Найдите отношение \(EH\) и \(AC,\) если \(∠ABC=60°.\)
