В основании четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=4, AD=15.\) При этом известны длины некоторых боковых рёбер: \(MA=\sqrt{26}, MB=\sqrt{10},\)\( MC=\sqrt{235}.\)
а) Докажите, что \(MB\) – высота пирамиды \(MABCD.\)
б) Найдите угол между \(MD\) и плоскостью \((ABM)\).
В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(M\) делит боковое ребро \(AA_1\) в отношении \(AM:MA_1=1:3.\) Через точки \(B\) и \(M\) проведена плоскость \(α,\) параллельная прямой \(AC\) и пересекающая ребро \(DD_1\) в точке \(N.\)
а) Докажите, что плоскость \(α\) делит ребро \(DD_1\) в отношении \(D_1N:DD_1=1:2.\)
б) Найдите площадь сечения, если известно, что \(AB=5, AA_1=8.\)
Дана треугольная пирамида \(PABC,\) причем высота пирамиды, опущенная из точки \(P,\) падает в точку \(C.\) Известно, что \(PA\) перпендикулярно \(BC.\)
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды \(PABC,\) если известно, что \(PB=15, AB=13, \)\(cos∠PBA= \frac {48}{65}.\)
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна \(4\), а боковое ребро \(SA\) равно \(7\). На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN: NC= SK: KC = \)\(1:3.\) Плоскость \(α\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC.\)
а) Докажите, что плоскость \(α\) параллельна прямой \(SA.\)
б) Найдите угол между плоскостями \(α\) и \(SBC.\)
Плоскость \(\alpha\) пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна \(7.\) Плоскость \(\beta\), параллельная плоскости \(\alpha,\) касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна \(5.\) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью \(\alpha\).
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с основанием \(ABC\) известны ребра:
\(AB =7 \sqrt3, SC =25.\) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер \(AS\) и \(BC\).
Точка \( M\) - середина ребра \(AA_1\) треугольной призмы\(ABCA_1B_1C_1,\) в основании которой треугольник \(ABC.\) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(B_1\) перпендикулярно прямой \(C_1M\).
а) Докажите, что одна из диагоналей грани \(ACC_1A_1\) равна одному из рёбер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) делит ребро \(AC\) в отношении \(1:5,\) считая от вершины \(A, AC=20, AA_1=32\).
Дана правильная треугольная пирамида \(SABC, AB = 16,\) высота \(SH = 10,\) точка \(K\) - середина \(AS\). Плоскость, проходящая через точку \(K\) и параллельная основанию пирамиды пересекает рёбра \(SB\) и \(SC\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника \(PQCB\) относится к площади треугольника \(BSC\) как \(3 : 4.\)
В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) боковое ребро \(SA=14,\) а сторона \(AB=8.\) Точка \(M \)‐ середина стороны \(AB.\) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(D\) и перпендикулярна плоскости \(ABC.\) Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(К.\)
В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с большим основанием \(AD. \) Диагонали пересекаются в точке \(O.\) Точки \(M\) и \(N -\) середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(α\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(SO.\)
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(α\) является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(α,\) если \(AD=10, BC=8,\)\( SO=8,\) а прямая \(SO\) перпендикулярна прямой \(AD.\)
Дан тетраэдр \(ABCD.\) На ребре \(AC\) выбрана точка \(K\) так, что \(AK:KC= 3 : 7.\) Также на ребрах \(AD, BD\) и \(BC\) выбраны точки \(L, M\) и \(N\) соответственно так, что \(KLMN\)— квадрат со стороной \(3.\)
а) Докажите, что ребра \(AB\) и \(CD\) взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(KLMN,\) если объем тетраэдра \(ABCD\) равен \(100.\)
Дана прямая призма \(ABCA_1B_1C_1.\) \(ABC \)— равнобедренный треугольник с основанием \(AB.\) На \(AB\) отмечена точка \(P\) такая, что \(AP : PB = 3 : 1.\) Точка \(Q\) делит пополам ребро \(B_1C_1.\) Точка \(M\) делит пополам ребро \(BC.\) Через точку \(M\) проведена плоскость \(α,\) перпендикулярная \(PQ.\)
а) Докажите, что прямая \(AB\) параллельна плоскости \(α.\)
б) Найдите отношение, в котором плоскость \(α\) делит ребро \(PQ,\) если \(AA_1 = 5, AB = 12,\)
\(cos∠ABC =\frac 35.\)
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания \(AB\) равна \(12 ,\) а боковое ребро \(AA_1\) равно \(6 .\) На ребре \(B_1C_1\) отмечена точка \(L\) так, что \(B_1 L = 2\) . Точки \(K , M\) – середины ребер \(AB\) и \(A_1C_1\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(AC\) и содержит точки \(K\) и \(L .\)
а) Докажите, что прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости \(\alpha.\)
б) Найдите объем пирамиды, вершины которой – точка \(B ,\) а основание – сечение данной призмы плоскостью \(\alpha\).
На ребре \(AA_1\) правильной четырехугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(K,\) причем известно, что \(AK : KA_1 = 1 : 3 .\) Через точки \(K\) и \(B\) проведена плоскость \(\alpha \) параллельно прямой \(AC,\) которая пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M.\)
\( а)\) Докажите, что точка \(M\) – середина ребра \(DD_1.\)
\( б)\) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha,\) если известно, что \(AB = 5 , AA_1 = 4 . \)
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) точка \(P\) делит сторону \(AB\) в отношении \(2 :3, \) считая от вершины \(A.\) Точка \(K \) делит сторону \(BC\) в отношении \(2:3,\) считая от вершины \(C.\) Через точки \(P\) и \(K\) параллельно ребру \(SB\) проведена плоскость \(w.\)
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью w является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки \(S\) до плоскости \(w,\) если известно, что \(SC = 5, AC = 6.\)
В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскость \(α\) проходит через вершины \(B_1\) и \(D,\) пересекает стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно, а сечение призмы плоскостью \(α\) является ромбом.
\(а) \) Докажите, что точка \(M\) — середина ребра \(AA_1.\)
\(б)\) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна \(3,\) а площадь сечения равна \(6.\)
Дана правильная треугольная пирамида \(SABC, AB = 24,\) высота \(SH,\) проведённая к основанию, равна \(14,\) точка \(K\)—середина \(AS,\) точка \(N\)—середина \(BC.\) Плоскость, проходящая через точку \(K\) и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра \(SB\) и \(SC\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.
\(а)\) Докажите, что \(PQ\) проходит через середину отрезка \(SN.\)
\(б)\) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью \(APQ.\)
Дана правильная пирамида \(SABC,\) точки \(K\) и \(M \) — середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. Точки \(N\) и \(L\) на сторонах \(BC\) и \(SA\) соответственно расположены таким образом, что \(LA = 4SL\) и прямые \(NL\) и \(MK\) пересекаются.
а) Докажите, что прямые \(LK, MN\) и \(BS\) пересекаются в одной точке.
