а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(Б,\) понизился?

б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(А,\) понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(Б,\) тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил \(40\) лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(Б,\) составил \(28\) лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(А,\) составил \(55\) лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию \(Б,\) стал равен \(31\) году, а попавших в категорию \(А\) – \(57\) годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил \(90\), средний балл участников, сдавших тест, составил \(100,\) а средний балл участников, не сдавших тест, составил \(75.\) После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен \(103,\) а не сдавших тест – \(79.\) При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

а) Удастся ли выдать премии, если их должны получить \(20\) сотрудников, причём все сотрудники должны получить поровну?

б) Удастся ли выдать премии, если ведущему специалисту надо выдать \(20\) кг золота, а остальное разделить поровну между \(35\) сотрудниками?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников премии удастся выдать при любом распределении, таком что каждому сотруднику полагается целое число килограмм золота?

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(2, 4, 6, 8.\)

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \( 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, \)\(13, 14, 17, 18, 19, 20, 22\)?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор \(9, 10, 11, 19, 20, 21, 22,\)\( 30, 31, 32, 33, 41, 42, \)\(43, 52.\)

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли в такой последовательности \(n=1000\).

в) Какое наименьшее количество чисел может быть в такой последовательности?

а) На доске выписан набор \(-11, -7, -5, -4, -1, 2, 6.\) Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число \(0\) встречается ровно \(4\) раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

а) Могло ли быть в сборнике \(85\) задач?

б) Могло ли быть в сборнике \(213\) задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за \(16\) дней, а количество задач в сборнике меньше \(300.\)

а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?

б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?

в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть \(328\) конфет?

а) Может ли произведение \(A· S\) быть равно \(3250\)?

б) Может ли произведение \( A·S\) быть равно \(1591\)?

в) Найдите наименьшее трехзначное число такое, что произведение числа и суммы его цифр больше, чем \(3497.\)

а) Может ли результатом выполнения операции быть число \(300\)?

б) Может ли результатом выполнения операции быть число \(151\)?

в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трёхзначных чисел от \(100\) до \(600\)?

а)  Является ли множество \(\{200; 201; 202; ...; 299\}\) хорошим?

б)  Является ли множество \(\{2; 4; 8; ...; 2^{100}\}\) хорошим?

в)  Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества \(\{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11\}\)?

а) Может ли Егор за \(4\) хода разделить линейку длиной в \(16\) см на части по \(1\) см?

б) Может ли Егор за \(5\) ходов разделить линейку длиной в \(100\) см на части по \(1\) см?

в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в \(300\) см на части по \( 1\) см?

а) Может ли быть верным уравнение \(A = B · C,\) если \(A > 140?\)

б) Может ли быть верным уравнение \(A = B · C,\) если \(440 ⩽ A < 500?\)

в) Найдите наибольшее число \(A\) до \(900,\) для которого выполняется \(A = B · C.\)

а) Можно ли за \(20\) ходов создать пару, где одно из чисел равно \(50?\)

б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна \(600\)?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали \(50?\)

а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_1 , … , r_n\) быть равным \(5\) ?

б) Может ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел \(r_1 , … , r_n\) больше \(2 ,\) а сумма чисел \(a_1 , … , a_n\) уменьшилась более чем на \(2n ?\)

в) Пусть \(n = 30 ,\) то есть на доске написано \(30\) чисел, и их сумма уменьшилась на \(40 . \) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_1 , … , r_{30} .\)

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

б)  Чему может быть равно \(а_{100},\) если \(a_1  =  89?\)

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

а) Может ли сумма этих чисел быть равна \(2205?\)

б) Может ли сумма этих чисел равна \(3435?\)

в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

\( а)\) Приведите пример числа, из которого получается число \(176148179.\)

\( б)\) Может ли из какого-нибудь числа получиться число \(3107611090 ? \)

\(в)\) Какое наибольшее число, кратное \(11,\) может получиться из трехзначного числа?

\(а)\)  Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять \(50\%\) от общей массы?

\(б)\)  Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять \(40\%\) от общей массы?

\(в)\)  Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?

\(а)\) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в \(3\) раза больше, чем сумма исходных чисел.

\(б)\) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в \(6\) раз больше, чем сумма исходных чисел?

\(в)\) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.